4.13 Strungsrechnung und Anwendungen

4.13 Störungsrechnung und Anwendungen

Es gibt folgende Näherungsverfahren in der Quantenmechanik:

Quantenmechanisch-Klassische Näherung
Stationär=Klassische Physik, Reihe nach
Schranken für Energien $s < E0 < S$
Störungsreihe

Die Störungsrechnung nach Schrödinger lautet:

H^ = ^H0 + cV^

Eigenzustand von ₀ bekannt $^ (0) (0) (0) H0 |n> = En |n>$
sei kleiner Parameter
ist der Störoperator.

Die Störungsreihe lautet:

|n> = |n>(0) + c|n>(1) + ...

En = E(00)+ cE(n1)+ ...

Die Korrekturen erster und zweiter Ordnung sind rekursiv.

|-------------------| |cE(1)= (0)<n| c ^V|n>(0)| ---n-----------------

Die Korrektur erster Ordnung ist also gerade durch den Erwartungswert von , also des Störoperators gegeben.

|-(1)---- sum ------(0)---| |Yn (r) = Cn'Y n'(r)| ----------n'----------|

Man nimmt als Basis die bekannten Wellenfunktionen _n'⁽⁰⁾. Die Energiekorrektur zweiter Ordnung lautet:

|-----------------------------------| | (2) sum |(0)<n'|c^V-|n>(0)|2 ' | |cE n = ' E(0)- E(0) mit n /= n | ---------n-----n'----n--------------

4.13.1 Stark-Effekt beim Wasserstoff-Atom

^ ^p2- --1-e2 H = 2m - 4pe0 r + (- e)f(r)

Das elektrische Potential für = (0,0,E₀) lautet:

f) - E0z

^ /\ cV = E0 .e.z

E₀ sei hierbei der Stör-Parameter. Der Grundzustand wird beschrieben durch:

|n = 1,l = 0,m = 0>= /\ Y100(r) = R10(r).Y00(h,f)

E(0)= - R 1 y

Für die Korrektur erster Ordnung gilt nun:

cE(n1) /\ = (0)<1,0,0,|eE0z| 1,0,0,>(0) = eE0 .(0)<1,0,0|z| 1,0,0>(0)

integral integral integral integral integral integral <100| z|100> = Y* (r).z .Y100(r)d3r = |Y110(r)|2.z d3r = 0 1m --- --- gerade

(Siehe auch Auswahlregeln für Dipolstrahlung) Wir berechnen die Korrektur 2.Ordnung:

sum |(0)<n'l'm'|eE z| 100>(0)|2 cE(2n) /\ = -------(0)--z-(0)------f¨ur n'= 2, 3 und l'= 1 und m'= 0 E 1 - E n'

Hier kommen sowohl die gebundenen als auch die Streuzustände vor. Beispielsweise berechnen wir <210|z|100>~ a_B.

0.Ordnung: $C0m(t) = dm,0$
1.Ordnung: $i integral t [ Em - E0 -hw ] C(1m)(t) = - h<m |V^|0>. exp i-----h------t' dt' t0$

$[ ] 1 sin[wm0-wt] 2 |Cm(t)| 2 = h2|<m |V^|0>| 2.--wm02-w---- .t2+Anteil von exp (+iwt) ~ t f¨ur groß e t 2 t$

$Em---E0- wm = wm0 = h$

$[sin(at)]2 t'--> oo ---a-- -----> p .td(a)$
Der Anteil zu - ist nicht relevant. Mit t ist |C_m(t)|² ~ t.

An dieser Stelle wollen wir eine Rate definieren:

d| Cm(t)|2 2p-- ^ 2 G0'-->m = dt = h |<m |V |0>|d (Em - E0- hw)

Man nennt diese auch Fermis Goldene Regel zur Berechnung der Übergangsintegrale. Die exakte Wellenfunktion lautet:

|_ _| |Ysfr> '--> V~ 1-- exp(ikz)+ f(h,E) exp(ikr)- N0 |_ ---r--- _| Kugelwelle

integral integral integral [ ( ) ] <k'|V (r)| k> = 1 V(r)exp i k - k' r d3r V0

Es handelt sich hierbei (bis aus den Vorfaktor) um die Fourier-Transformierte von V (r): ( ) mit dem Impuls-Übertrag = -' . Die Übergänge pro Sekunde berechnen sich nach: