5.1 Hauptidee

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5.1 Hauptidee

Der Drehimpuls ist ein Vektoroperator, dessen drei Komponenten nicht kommutativ sind.

l = r× p

l2 = l2x + l2y + l2z

In der Wellenmechanik stellt man durch einen Differentialoperator dar: = -i × $\~/$ ( 1). Damit kann man die Vertauschungsrelationen [l_x,l_y] = il_z etc. ableiten. Mit diesen Beziehungen und Definitionen findet man außerdem [ ,l²] = 0. Angenommen, wir haben N Teilchen. Das n-te Teilchen habe den Drehimpuls ⁽ⁿ⁾ = ⁽ⁿ⁾ × ⁽ⁿ⁾. Der Gesamtdrehimpuls ergibt sich durch Summation über alle Einzeldrehimpulse:

sum N (n) L = l n=1

Außerdem gilt [ ^(m), ⁽ⁿ⁾] = 0 für nm. Damit ergeben sich weitere Vertauschungsrelationen mit der Definition des Gesamtdrehimpulses:

[L ,L ] = sum [l(m),l(n)] = sum [l(n),l(n)] = sum il(n) = iL x y m,n x y n x y n z z

Definition:

Der Vektoroperator

ist ein Drehimpuls, wenn [J_k,J_l] = i

_klmJ_m, mit dem total antisymmetrischen Tensor

_klm. Es ist außerdem sehr geschickt, folgenden Operator einzuführen:

J =_ I ± iJ ± x y

Dieser besitzt folgende Eigenschaften:

[Jz,J±] = ± J± und [J+,J- ] = 2Jz

Daraus folgt dann mit diesen Vertauschungsrelationen:

J_-J₊ = J² - J_z(J_z + 1)
J₊J_- = J² - J_z(J_z - 1)

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