5.2 Spektrum

J² und J_z haben gemeinsame Eigenvektoren. Wir notieren uns zwei wichtige Sätze, auf deren Herleitung wir aber verzichten wollen:

Satz 1:

Die Eigenwerte von J2 sind von der Form j(j + 1)2 für j = 0, , 1, , ....

Satz 2:

Sind |,j,m> Eigenvektoren von J2 und Jz mit Eigenwerten j(j + 1)2 und m, so sind die Werte von m gleich -j, -j + 1, -j + 2, ..., j - 2, j - 1, j.

Ableitung (kurz):

Damit haben wir bewiesen, daß J² ein positiv semidefiniter Operator ist. So sind dessen Eigenwerte > 0. Wir schreiben diese als j(j + 1) mit j > 0. Für einen beliebigen Vektor |j,m> folgt mit den Identitäten 1.) und 2.), daß -j < m < j ist. Dies ergibt sich unter anderem daraus, daß die Norm nie kleiner als Null sein darf! Mit den Leiteroperatoren L_± erhalten wir für einen Vektor |j,j>:

Daraus resultiert dann schließlich j = 0, , 1, , ....