5.11 Stationäre Störungen

Wir betrachten den Hamilton-Operator H mit einer Störung W:

Das Eigenwertproblem von H₀ ist gelöst:

Nehmen wir einen bestimmten Eigenwert E_a⁰, welche nicht entartet sein soll. Dann verwenden wir im folgenden die Schreibweise:

Die betreffenden Vektoren |0> und |> seien normiert, es gelte also <0|0> = 1 und <|> = 1. Außerdem seien die Vektoren orthogonal:

Dann können wir die Eigenwertgleichung des Hamilton-Operators schreiben als:

Die Lösung wollen wir in eine Potenzreihe entwickeln:

Das Spektrum von H hängt von stetig ab:

Wir finden also eine unendliche Reihe von Gleichungen. Aus der zweiten Gleichung erhalten wir durch Multiplikation mit <0|:

Da H₀ hermitesch ist, können wir schreiben:

Der vorletzte Schritt mit ₀^* = ₀ ergibt sich aus der Tatsache, daß ein hermitescher Operator reelle Eigenwerte besitzt. Damit erhalten wir schließlich:

Es resultiert nun: