6.2 Permutationen

Betrachten wir N Teilchen {⁽ⁱ⁾, ⁽ⁱ⁾, ⁽ⁱ⁾--i = 1, ..., N}. Diese Teilchen sollen gleichartig sein (aber nicht identisch). Teilchen bezeichnet man als gleichartig, wenn für alle i, j gilt, daß die Spins gleich sind: ²⁽ⁱ⁾ = ^2(j). Dann führen wir folgendes Tensorprodukt ein. Der Zustandsraum besitze folgende Struktur (Spindimension: 2s + 1).

Nehmen wir an, wir haben einen vollständigen Satz von kommutierenden Observablen {q} mit Basisvektoren |q> und den Eigenwerte q (beispielsweise , s_z).

Die Basisvektoren ergeben sich als Tensorprodukt der Einteilchenvektoren. Beschäftigen wir uns nun mit Permutationen. Die einfachste Permutation ist die Transposition, also die Vertauschung zweier benachbarter Elemente:

Der unitäre Permutationsoperator ist nun definiert als:

Das ist eine Art von Quasi-Rotation. Im allgemeinen gilt:

Betrachten wir eine Observable O(⁽¹⁾, ..., ^(N)). Speziell für diese Observable gilt dann:

Eine beliebige Permutation P ist zusammengesetzt aus M_P Transpositionen P = ()()...()() (M_P-fach). Wir wollen außerdem den Begriff der Parität einführen. Die Parität ist folgendermaßen definiert:

Für einen symmetrischen Vektor |u> gilt für beliebiges P, daß P|u> = |u> ist, und für einen antisymmetrischen Vektor |v> gilt P|v> = (-)^P|v>. Symmetrische Vektoren ändern sich somit unter Permutationen gar nicht und bei antisymmetrischen nur die Phase.

6.2.1 Projektionsoperator

Lemma: