8.2 Lorentz-Gruppe

Wir führen eine Wechsel des Bezugssystems durch eine Lorentz-Transformation (reell z, linear):

Die Poincaré-Gruppe haben die Parameter {,a}. Es ist einfach zu Hause abzuleiten, daß folgendes gilt:

• ^* =
• = (Kronecker-Symbol)
• det() = ±1

Für a = 0 und ₀⁰ > 0 ist dies eine orthochrone Lorentz-Gruppe. Wir schreiben eine Matrix für die infinitesimale Lorentz-Transformation:

ist hierbei infinitesimal. Es gilt = ^* = -. Dies ist also reell und antisymmetrisch. Es gibt damit sechs infinitesimale Transformationen, nämlich Drehungen in x²x²-Ebene, x²x³-Ebene und x³x¹-Ebene. Außerdem haben wir die Boosts in den x⁰x¹-, x⁰x²-, x0x³-Ebenen. Ein Boost ist eine Pseudo-Drehung. Des weiteren gibt es zwei diskrete Transformationen.

• Räumliche Spiegelung S: x⁰x⁰, x^m- m^m
• „Zeitliche Spieglgung“ T: x⁰x⁰, x^mx^m

  Diese sind nicht Teil der orthochronen Transformationen.