8.7 Kontinuitätsgleichung

P beschreibt hierbei die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und j die Wahrscheinlichkeitsstromdichte. Eine solche Gleichung gilt beispielsweise auch für die Schrödingergleichung. Da schöne daran ist, daß wir diese in kovarianter Form schreiben können:

Wir betrachten un den Fall A = 0:

Als Übung kann gezeigt werden, daß j = 0 gilt. Bei der Schrödingergleichung gilt P = ||² und außerdem:

Zwei Überraschungen:

• P ist nicht positiv definit, kann also nicht als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden.
• Betrachte ebene Wellen:

  Durch Einsetzen dieses Ansatzes in die Wellengleichung erhalten wir:

  

  Daraus ergibt sich dann E² = ² + m² und somit:

  

  Es gibt somit Lösungen mit negativer Energie. Dies gibt es jedoch auch beim Wasserstoffatom. Das Problem ist jedoch, daß die Energie nicht nach unten beschränkt ist.

Erklärung:

• Änderung der Interpretation von j: P ist keine Wahrscheinlichkeitsdichte. ej wird infolgedessen als elektrische Stromdichte interpretiert. eP ist hierbei die elektrische Ladungsdichte (nach Pauli, Weißkopf (1934)).
• Da sowohl positive als auch negative Ladung vorkommt, beschränkt sich die Theorie nicht nur auf ein einziges Teilchen. Die Teilchenzahl ist nicht erhalten und wir interpretieren die unerwünschte Lösung mit E < 0 als Antimaterie. Das Antiteilchen besitzt die entgegengesetzte Ladung.

Quantenfeldtheorie:

V ist hierbei das Volumen eine Würfels mit periodischen Randbedingungen.

a^† genügt Teilchen und b^† genügt Antiteilchen. Da Vakuum wird beschrieben durch |0>.

Der Ladungsoperator ist dann definiert durch: