8.9 Lorentzinvarianz der Dirac-Gleichung

8.9 Lorentzinvarianz der DIRAC-Gleichung

Wir betrachten den Zustand eines Elektrons im Bezugssystem R. Dessen Komponenten _s(x) genügen vier Gleichungen.

|-----------------------------------------| | sum 4 sum 3 | | (gm)st [i@m - eAm(x)]yt(x)- mys(x) = 0| (1) |t=1m=0 | ------------------------------------------

Machen wir nun eine orthochrone Lorentztransformation, wobei wir das neue Bezugssystem R' erhalten:

L (mit Parameter _O_m ,_O_0 > 0): R -L--> R' n 0

Schreiben wir die Lorentztransformation kontravariant:

x'm = _O_m xn oder xm = x'n_O_m n n

Betrachten wir außerdem den partiellen Differentialoperator, welcher einer kovarianten Transformation unterliegt: = '. Die Komponenten des Potential muß auch so transformieren wie der partielle Differentialoperator: A(x) = A'(x'). Aus Gleichung (1) ergibt sich dann:

[^gm(i@'- eA'(x')) - m]y(L -1x') = 0 mit ^gm =_ _O_m gn m m n

Die Krux ist, daß die neuen Matrizen auch die CLIFFORD-Algebra erfüllen. Dies wollen wir überprüfen:

^gm^gn + ^gn^gm = _O_m _O_n (gagb + gbga)= _O_m_O_n .2jab = 2jmn a b a b

Der letzte Schritt folgt aus der Tatsache, daß die Lorentztransformationen beschreiben. Also (ohne Beweis) gibt es eine Matrix $/\$ mit = $/\$ ^-1 $/\$ . Explizit aufgeschrieben bedeutet dies ()_st = ( $/\$ ^-1)_s^u()_uv( $/\$ )_t^v. ist ein Raumzeitindex und $/\$ ist im Raum E^(S) definiert. Wir definieren nun '(x) $/\$ (x) = $/\$ (L^-1x'). Wir multiplizieren diese Gleichung von links mit $/\$ :

|------------------------------| [gm(i@'- eA' (x'))- m]y'(x') = 0| ------m----m--------------------

Das bedeutet, daß die DIRAC-Gleichung forminvariant ist bei Lorentztransformationen. Damit haben wir explizit bewiesen, daß die DIRAC-Gleichung lorentzinvariant ist. $/\$ kann so gewählt werden, daß $/\$ ^† = ⁰ $/\$ ^-1⁰ ist. $/\$ ist damit quasi-unitär. Wenn $/\$ diese Eigenschaften besitzt, gilt ()^† = ⁰⁰. Die adjungierte DIRAC-Gleichung ist auch forminvariant mit '(x') (x) $/\$ ^-1. Betrachten wir eine infinitesimale___________ Lorentztransformation. Zu jeder der 6 infinitesimalen „Drehungen“ gilt = - Z⁽⁾, wobei Z⁽⁾ - . Zu jeder dieser infinitesimalen Drehungen gehört eine Matrix $/\$ ⁽⁾() ~ 1 + iS. Mit der Bedingung = $/\$ ^-1 $/\$ findet man = i. Die Lösung ist S = () . Machen wir dazu zwei Beispiele:

Beispiel 1: Spezielle Lorentztransformation mit Geschwindigkeit v tanh() in x-Richtung $xt (j-) (j) /\ (j) = exp[iS10j] = 1cosh 2 + 2iS10sinh 2$
Damit wissen wir, wie das Spinorfeld transformiert.
Beispiel 2: Drehung um die z-Achse: $xy (f-) (f-) /\ (f) = exp[iS12f] = 1cos 2 + 2iS12sin 2$
Ein Boost ist also eine Pseudo-Drehung mit einem imaginären Winkel.

In der DIRAC-Darstellung der -Matrizen findet man:

(sm 0 ) skl = eklm 0 sm

Damit findet man 2iS₁₂ = i₃ 1₂. In der DIRAC-Darstellung gilt:

( ) ( ) /\^z(f) = cos f- 14 + sin f- (is3 ox 12) 2 2

Das ist genau die Transformation eines Teilchens mit Spin 1/2. Damit transformiert die Wellenfunktion bei Drehungen wie die Wellenfunktion eines Teilchens mit Spin 1/2. Vergleichen wir dies mit der Pauli-Theorie, wo wir folgende Transformation hatten:

( ) ( ) RPauli(f) = cos f- - sin f-(is ) ^z 2 2 3

Damals hatten wir einen Spinor mit zwei Komponenten; aber nun besitzt unser Spinor vier Komponenten. Hier gilt dann x^' = x und ' = $/\$ . Der adjungierte Spinor transformiert nach '(x') = (x) $/\$ ^-1.

- 1m m n /\ g /\ = _O_ ng

(ab) i /\ (e) = 1+ ieSab, Sab = 4[ga,gb]

Es gibt 16 kovariante Größen, welche linear unabhängig sind. Diese fassen wir in einer Tabelle zusammen:


Tensor	Anzahl	Klassifizierung	Bemerkungen


S(x) (x)(x)	1	Skalar	S'(x') = '(x')(x') = (x) $/\$ ^-1 $/\$ (x) = (x)(x) = S(x)
P(x) (x)⁵(x)	1	Pseudoskalar	⁵ = ⁰¹²³, {⁵,} = 0
V (x) (x)(x)	4	Vektor	Stromdichte j = mit Kontinuitätsgleichung j = 0
T(x) = (x)	6	Tensor 2.Stufe	P'(x') = det()P(x)
A(x) = ⁵	4	Pseudovektor

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