2.4 Einführung in die Quantenmechanik

Postulate der Quantenmechanik:

Grundpostulate:

Sie können nicht „verstanden“ (hergeleitet) werden, sondern nur durch Gewöhnung als Teil der Erfahrung in die Vorstellung aufgenommen werden.

Neue Sprache:

• Variable = Eigenschaft des Systems

  Beobachtung möglich oder auch nicht; zeitunabhängig oder zeitabhängig (stationär/dynamisch)

• Observable = meßbare Größe

• Klassische Mechanik:

  Alle dynamischen Variable (Ort, Impuls, Energie) sind auch Observablen.

• Quantenmechanik:

  Nicht alle dynamischen Variablen sind Observablen. Ort und Impuls eines Teilchens sind nicht exakt bestimmbar. Dies besagt die Unbestimmtheitsrelation (später dazu mehr).

2.4.1 Postulat I

• Jeder Zustand eines Systems von N Teilchen wird durch eine Wellenfunktion beschrieben (so vollständig wie möglich).
• ^* ist proportional zur Wahrscheinlichkeit, das System zur Zeit t bei x zu finden.

Die Wellenfunktion ist im allgemeinen komplex ( = a + ib) und daher eine nicht-observable Variable. ^* ist die konjugiert komplexe Funktion zu . Das heißt, es gilt ^* = a² + b² = ||².

Eigenschaften der Funktion :

• stetig
• differenzierbar
• eindeutig
• endlich

Dies folgt aus Postulat I. Die Grundwahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Normierungsbedingung:

2.4.2 Postulat II

Jeder betrachteten Eigenschaft des Systems entspricht ein linearer Operator. Ein Operator ist eine Normierungsbedingung, die auf die darauffolgende Funktion angewandt wird.

Beispiel:

• 5 ^. y: Der Operator 5 heißt „Multipliziere mit 5“.
• : Der Operator heißt: „Differenziere nach y“

Operatoren werden allgemein geschrieben als , .

Operatorenalgebra: Summen und Differenzen

• Summe:

  Betrachten wir als Beispiel = :

  

• Produkt:

  Betrachten wir folgendes Beispiel:

  

  Es gilt aber:

  

Der Unterschied zur gewöhnlichen Algebra besteht im Kommutativgesetz:

• Wenn  =  ist, folgt = 0. Dann sind  und kommutativ.
• Wenn ÂÂ ist, sind Â, nicht kommutativ.

Beispiel:

Wir betrachten = und = . Durch Multiplikation ergibt sich:

Hier sind und kommutativ. Das heißt, es gilt also:

Laplace-Operator:

Lineare Operatoren:

In der Quantenmechanik sind Operatoren nur dann linear, wenn gilt :

Nichtlineare Operatoren sind beispielsweise: cos,,...

Übersetzung von klassischen Observablen in quantenmechanische Operatoren:

• Die Koordinaten t, x₁, y₁, z₁, ..., x_n, y_n, z_n werden beibehalten.
• Impuls p

• Kinetische Energie:

  (2.1)

• Potentielle Energie:

  Diese ist keine Funktion des Impulses, sondern eine Funktion der Koordinaten, womit V = gilt.

• Gesamtenergie:

  H ist die Hamilton-Funktion und der Hamilton-Operator.

2.4.3 Postulat III

Jeder Operator  entspreche einer Observablen. Bei einer Messung der dem Operator  entsprechenden Observablen wird der Experimentator nur die Eigenwerte a beobachten, welche der Eigenwertgleichung Â_n = a_nn genügen.

Beispiel: Stationäre Energiezustände

Wir wollen die Eigenwertgleichung für die Energie aufstellen:

Die Lösung ergibt die Eigenfunktion und mögliche Energiezustände.

2.4.4 Exkurs: Hermitesche Operatoren

Zu jeder Observablen in der klassischen Mechanik gibt es einen linearen hermiteschen Operator.

Definition Hermitescher Operator:

2.4.5 Eigenschaften hermitescher Operatoren

1. Eigenwerte sind reell
2. Eigenzustände, welche verschiedenen Eigenwerten eines hermiteschen Operators entsprechen, sind orthogonal.

Beweis von 1.):

_w ist (normierte) Eigenfunktion, der Hamilton-Operator und w die Eigenwerte des Hamilton-Operators. Es gilt also die Eigenwertgleichung _w = w_w. Nehme einen Operator und wende ihn auf die Funktion an, so gibt es nur bestimmte Lösungen, die durch die Eigenwerte w dargestellt werden. Da w eine normierte Eigenfunktion ist, gilt:

ist außerdem ein hermitescher Operator, womit folgt:

Es muß also w = a + ib = w^* = a - ib gelten, was jedoch nur erfüllt ist, wenn b = 0 ist. Es gilt damit w = w^*; w muß eine reelle Zahl sein.

Beweis von 2.):

• Orthogonalität:

• Orthonormierte Funktionen: orthogonal/normiert zusammen

  _ij ist das sogenannte Kroneckerdelta.

2.4.6 Postulat IV

2.4.7 Postulat V

2.4.8 Ableitung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung aus der zeitabhängigen

(x,t) läßt sich in eine nur zeitabhängige und eine nur ortsabhängige Funktion separieren, also (x,t) = f(t)(x). Wir verwenden folgenden Lösungsansatz:

Einsetzen ergibt: