6.4 Elektronen in einem periodischen Potential/Bloch-Theorem

Betrachten wir das Potential V () = V ( + ), wobei irgendein Gittervektor ist. Wir notieren uns die stationäre Schrödingergleichung für dieses Problem:

[ h ] sum ( ) Hy(r) = - 2m- /_\ + V (r) y(r) = Ey(r) mit V (r) = VGexp -iGr G

ist hierbei ein reziproker Gittervektor. Man macht für die Wellenfunktion einen Ansatz durch Entwicklung nach ebenen Wellen:

sum ( ) y(r) = Ck exp ikr k

Man summiert über alle möglichen -Vektoren, also über diese, welche mit den periodischen Randbedingung kompatibel sind.

Durch Einsetzen in die Schrödingergleichung:

sum h2k2-C exp(ikr)+ sum C V exp (i(k'+ G)r)= E sum C exp(ikr) 2m k ' k' G k k k,G k

Wir benennen ' + in um:

_ | ( ) _| sum ( ) h2k sum exp ikr |_ 2m-- E Ck + VGCk -G _| = 0 f¨ur alle Orte k G

Für jedes erlaubte muß der Ausdruck in der Klammer gleich 0 sein.

|-----------------------------| (h2k2 ) sum | | -2m-- E Ck + VGCk -G = 0| -----------------G-------------

Es handelt sich um die Schrödingergleichung im k-Raum für die Koeffizienten C. Durch die Vereinfachung wegen der Periodizität von V () ergibt sich für jedes innerhalb der 1.Brillouin-Zone. Es liegt damit eine Kopplung C_k mit allen möglichen C_k- vor (rote Punkte). Die Wellenfunktion ist also von folgender Struktur:

( ( ) ) ( ( )) ( ) y (r) = sum C exp i k- G r oder y (r) = sum C exp -iGr exp ikr k k-G k k- G G G

|--------------(---)-| yk(r) = uk(r)exp ikr | ----------------------

exp stellt eine ebene Welle dar und u_k() ist eine gitterperiodische Modulation.

uk(r) = uk(r +R)

u_k() ist -spezifisch ( modulo ). ist ein beliebiger Gittervektor. Dies ist ein sehr wichtiges Theorem, nämlich das sogenannte Bloch-Theorem:

Wellen im periodischen Potential haben diese Form; man bezeichnet sie als Bloch-Wellen.

Wir wollen uns nun noch etwas mit diesen Bloch-Wellen beschäftigen. Diese besitzen zwei Symmetrieeigenschaften:

Symmetrie im Ortsraum:
Eine Translation um entspricht einer Multiplikation mit einem Phasenfaktor exp(i. Dies kann folgendermaßen gezeigt werden, wobei wir auf Vektorpfeile verzichten wollen:
$yk(r+R) = uk(r+R) exp(ikr)exp(ilR) = uk(r)exp(ikr)exp(ikR) = yk(r) exp(ikR)$
Dies ist eine oft alternative Formulierung des Bloch-Theorems. In diesem Zusammenhang wollen wir nochmal zurückblicken auf elastische Wellen: Diese sind im Grunde genommen auch einfache Bloch-Wellen mit dem Vorfaktor u_q(r) = U_q = const. Sonst gibt es keine explizite r-Abhängigkeit „zwischen“ den Atomen.
Symmetrie im k-Raum:
Hier liegt eine Periodizität mit vor. Besitzt eine Blochwelle die Wellenzahl k' = k + G', so stellt man fest, daß diese identisch mit einer Blochwelle der Wellenzahl k ist. Auch dies können wir zeigen:
$sum ' yk+G'(r) = Ck+G'-G exp(i(k + G - G) r) G$
Wir bezeichnen nun G'-G mit G''. Da man sowieso über alle G summiert, kann mann auch über alle G'' summieren:
$sum sum Ck+G'- Gexp(i(k+ G' -G) r) = Ck- G''exp(-iG''r)exp(ikr) = uk(r)exp(ikr) = yk(r) G G''$
An einer Blochwelle mit bestimmten k sind (schon) alle möglichen k + G beteiligt. Aber außerhalb der 1.Brillouin-Zone gibt es nichts neues. Diese Periodizität kann sich nicht nur auf die Wellenfunktion beziehen, sondern muß sich auch in den Eigenwerten äußern. Man stellt fest, daß E_k periodisch mit G ist. Die E_k stellen Energieflächen im k-Raum dar. Die Gesamtheit dieser k’s bezeichnet man als „elektronische Bandstruktur“.
$Hyk = Ekyk$

$Hyk+G = Ek+Gyk+G$
Da nun _k gitterperiodisch ist, gilt _k+G = _k und damit erhalten wir die Eigenwertgleichung:
$|-------------| Hyk--=-Ek+Gyk--$
Es gilt also E_k = E_k+G und damit ist auch E gitterperiodisch. Es ist damit eine Beschränkung auf die erste Brillouin-Zone möglich (reduziertes Zonenschema).
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