7.2 Elektrische und thermische Leitfhigkeit

7.2 Elektrische und thermische Leitfähigkeit

Historisch: DRUDE hat sich hier um 1900 Gedanken gemacht. Elektronen kann man als klassisches Gas behandeln, für welche die MAXWELL-BOLTZMANN-Statistik gilt mit v_th, wobei v_th = 0 ist. Es finden hierbei viele Stöße statt, wobei die mittlere Stoßzeit ist. Für ein elektrische Feld ergibt sich:

dv eE dt = --m-

Nach jedem Stoß gelte v = 0. Damit ergibt sich:

Driftgeschwindigkeit: $v = -eEt-= - mE D m$
ist hierbei die sogenannte Beweglichkeit.
Stromdichte: $ne2t j = - envD =---- .E m$

Diese Konzept ergibt eine vernünftige Übereinstimmung mit dem Experiment; dies ist aber falsch!

7.2.1 Sommerfeldmodell

Für freie Elektronen nach dem Pauliprinzip gilt:

h2k2 E = 2m--; p = hk

Damit folgt eine äußere Kraft mit = (beispielsweise für = e).

Es liegt damit ein Ungleichgewicht vor, womit eine Streuung in freie Zustände nach „hinten“ stattfindet. Es ergibt sich ein „Stillstand“ nach . Für stationäre k gibt es eine kleine „Schicht“ 2k (vorne , hinten ), welche nicht kompensiert wird. Ein Strom entsteht durch wenige, aber schnelle (v_F) Elektronen. Was ist nun aber ?

7.2.2 BOLTZMANN-Gleichung, Relaxationszeit

Die Verteilungsfunktion der Elektronen im Gleichgewicht f₀(E(

)), f₀(

) wird durch die Fermiverteilung beschrieben. Gesucht ist letztlich die Nichtgleichgewichtsverteilung f(

,t). Das LIOUVILLE-Theorem besagt, daß die Dichte im Phasenraum ohne Stöße erhalten bleibt:

( ) f k)+ dk,r +dr,t+ dt = f(k,r,t)

Bei kleinen Änderungen können wir eine Linearisierung der Funktion (TAYLOR-Reihe) durchführen:

f(k+ dk,r+ dr,t+ dt)- f(k,r,t) = @fdk + @f-dr+ @f-dt = 0 @k @r @t

Mit Stößen muß man einen Korrekturterm einführen.

( ) @f- @f- @f- @f- @k dk + @r dr+ @t dt = @t streu dt

|-------------------------| |˙@f @f @f (@f ) | |k---+ ˙r@r-+ -@t = @t- | --@k--------------------st-

Diese ist die BOLTZMANN-Transportgleichung. Der erste Term ist der Streuterm, der zweite der Diffusionsterm, der dritte der Stoß-Streuterm. Der Stoßterm bei der Streuung von kk' (und rückwärts) ist eigentlich kompliziert. Infolgedessen macht man pauschal einen sogenannten Relaxationsansatz

( ) @f(k) = - f(k)--f0(k)- @t st t(k)

wobei die sogenannte Relaxationszeit und ^-1 die Streurate ist. Die Änderung ist praktisch proportional zur Abweichung von einem Gleichgewichtszustand f₀(). Damit ist die zeitliche Variation proportional zu exp nach einer stufenförmigen Änderung. Diskutieren wir an dieser Stelle den Ladungstransport, insbesondere die elektrische Gleichstromleitfähigkeit:

Stationärer Zustand:
Die explizite Zeitabhängigkeit von f fällt hier heraus, also gilt = 0.
Diffusionsterm ist vernachlässigbar insbesondere bei Metallen

Damit folgt mit = -eE:

e f(k)- f0(k) - hE\ ~/ kf (k) = ----t(k)----

Hiermit ergibt sich eine kleine Abweichung von f₀(k):

et(k) f(k) = f0(k)+ h E\ ~/ kf(k)

Hieraus ergibt sich die linearisierte BOLTZMANNgleichung:

et(k) f(k) ~~ f0(k)+-----E \~/ kf0(k) h

$\~/$ _kf₀(k) entspricht den Grad der Gleichgewichtsverteilung statt dem Grad der tatsächlichen Verteilung. Scheuen wir uns die Stromdichte an:

integral j = --e- v(k)f (k)d3k 4p3 1.BZ

Der Beitrag der Integration über f₀ ergibt Null. Weiterhin betrachten wir den einfachsten Fall = (E_x,0,0). Darüber hinaus nehmen wir an, daß ein isotropes Material vorliegt, daß also j_y = j_z = 0 gilt.

@f0(k) @f0(k)-@E-- @kx = @E @kx || =hvx

Damit ergibt sich nun:

integral e2Ex-- 2 @f0 3 jx = - 4p3 vxt(k)@E d k

Es gilt also -(E - E_F) und d³k = dkdS_F = dS_F:

2 integral 2 s = jx- ~~ -e-- vx(kF)t(kF)dSF Ex 4p3h v(kF)

dS_F ist hierbei ein Flächenelement auf der Fermifläche. Hier ist zunächst zu Ende wegen (_F). Der einfachste Fall ist:

Pauschal (E_F) (ZIMAN: „Einzige einfache Lösung“)
Beispielsweise kugelförmige Fermifläche: $v2 integral v2x = --und dSF = 4pk2F 3$
Hieraus folgt dann für diesen Fall:
$|--------------------| s = 1e2D(EF )v2Ft(EF) | ----3-----------------$
Dies bezieht sich ausschließlich auf Elektronen an der Fermikante. Mit D(E_F) = , k_F = (3²n) und E_F = m^*v_F² können wir diesen Ausdruck weiter umformen:
$|------2------| |s = ne*t(EF) | -----m--------|$
Dieses Ergebnis erhielt auch DRUDE mit einer viel einfacheren Betrachtung. Beispielsweise erhält man für Kupfer Cu bei 300K mit 2^.10^-14 s, v_F 1,6^.10⁶ eine Weglänge von l = v_F ^. 30nm. Bei 4K folgt aus 2^.10⁹ s ein Wert von l 0,3cm. Dies ist ein Widerspruch zur Berechnung von DRUDE, welcher l 10Å erhielt.

Die Ursache von und (T) sind Streuprozesse durch Defekte, Phononen und Elektronen.

Elektron-Elektron-Streuung:
Da viele Elektronen vorhanden sind, könnte man vermuten, daß diese Art der Streuung sehr wirkungsvoll ist. Dies stellt sich jedoch als Irrtum heraus aufgrund des Pauliprinzips. Betrachten wir beispielsweise zwei Kristallelektronen:
- Energiesatz: E₁ + E₂ = E₁' + E₂'
  Es sei Elektron 1 oberhalb von E_F, also gelte E₁ > E_F und E₂ < E_F. Nach Pauli muß dann E₁' > E_F und E₂' > E_F gelten und damit E₁+E₂ > 2E_F. Mit E₁-E_F k_BT « E_F folgt E₂ E_F. Elektron 2 kommt aus der dünnen Schale des gesamten Raums.
- Quasiimpuls: ₁+₂ = ₁' +₂' +, wobei wir wegen Vereinfachung 0 setzen
  Für den Impuls gilt ₁-₁' = ₂'-₂, wobei Elektron 2 in die dünne Schale übergeht.
Es ergibt sich der Streuquerschnitt
$(k T )2 se-e ~~ -B-- sStr,0 EF$
wobei _Str,0 der Streuquerschnitt für ein festes Ion ist. Bei 1K gilt _e-e = 10^-10_Str,0; pro 10²² Elektronen sind also 10¹³ geladene Defekte vorhanden. Diese Anzahl ist im allgemeinen sehr klein und daher wird dieser Streuprozeß sehr unwichtig (in Schwerfermion-Systemen gibt es T²-Abhängigkeit).
Defektstreuung:
Diese ist im allgemeinen statisch; das heißt, es handelt sich um eine elastische Streuung. Da die Energien gleich bleiben, gilt |' ||| und für den Impuls ' = + , wobei beliebig ist und sich aus den Gittereigenschaften ergibt.
Phononenstreuung:
Für die Energie der Phononen gilt E_q k_BT « E_F und damit folgt |' |||. Es sind somit nur Zustände in der Nähe der Fermifläche beteiligt mit ' = ± + , wobei die Phonon-Erzeugung bzw. -Vernichtung beschreibt. Der Normalprozeß ist der mit G = 0.
- Hohe Temperaturen: q (Große Streuwinkel)
- Tiefe Temperaturen: q « (Kleine Streuwinkel)
Für G0 liegt ein sogenannter Umklappprozeß vor:

Dieser Prozeß ist wichtig aufgrund des großen Impulsübertrags. Bei kleinem q ist ein minimales q erforderlich. Dies ist abhängig von der allgemeinen Form der Fermifläche und Brillouinzone.

7.2.3 Temperaturabhängigkeit der elektrischen Leitfähigkeit

(k_F) ist temperaturabhängig und unabhängig von Streumechanismen:

1-= --1- + --1--- t tDef tGitter

Der effektive Widerstand ist gegeben durch:

|----------------*--------*---| |r = rD + rG =-m---+ ---m---- | --------------ne2tD---ne2tG(T)-|

Man bezeichnet dieses Verhalten auch als Mathieusche Regel. _D ist ein Maß für die Reinheit des Materials. Für T0 gilt _D und = _D ist der Restwiderstand. Auch das Restwiderstandsverhältnis (Residence Resistance Ratio) ist ein Maß für die Reinheit. Für Metalle ist ein Wert von 10^-3 typisch und für Legierungen, amorphe Metalle ein Wert von 1. Hierbei ist der Phononenbeitrag unwichtig.

Die Temperaturabhängigkeit durch Phononenstreuung bei hohen Temperaturen (T > ) ist l_el^{- 1} = n ^. _Str, wobei n für die Phononenzustandsdichte steht, welche proportional zu T ist. _Str beschreibt den Streuquerschnitt bei der Streuung an Debye-Phononen; diese Zahl ist temperaturunabhängig. Damit gilt für die Leitfähigkeit _G T^-1 und T. Bei tieferen Temperaturen ( 10K) liegt eine stärkere Temperaturabhängigkeit von n_ph und _Str vor, weil _ph,dominant ~ T; das heißt, der Streuwinkel wird klein. Nach viel Rechenaufwand erhält man:

|-----------| | (Q )5 | |tG oc -- | -------T----

Diese Beziehung nennt man BLOCH-GRÜNEISEN-Gesetz.

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