3.6 Rechnen mit Maxima/Minima

M < R - M = {x|- x (- M }

Satz:

$M$ , $N < R$ besitzen Maximum/Minimum. Es gelten:

$max(M U N) = max(max M, max N)$
$M < N ==> max M < max N$
$min M = - max(- M )$
$max M und M '= max M --> m = m'$

\text{[math]}

Es sei $M (_ R$ . $g$ heißt obere Grenze/Supremum von $M$ , falls $g$ kleinste obere Schranke von $M$ ist.

Definition g = sup(M )-------->

$M < g$
Aus $M < S$ , folgt $g < S$

Definition:

Satz:

Für die untere Grenze/Infimum gilt: $inf(M ) = - sup(- M )$ .

\text{[math]}

$inf(M ) = s$ gibt die größte untere Schranke von $M$ an.

Definition s = inf(M ) -------->

$s < M$
Aus $S < M$ folgt wiederum, daß $S < s$ .

Übung:

Zeige, daß folgende Ungleichung gilt:

x + y x < ----- < y f¨ur x < y 2

Beispiel:

M < R :-M = {x|- x (- M }

$x$ sei untere Schranke. $x (- M$ bedeutet dann, daß $x < y$ $A$ $y (- M$ .

Beispiel:

Betrachten wir folgende Menge:

M = [0,1)

Die Behauptung ist nun, daß $sup(M ) = 1$ gilt.

Die Elemente der Menge $M$ haben die Eigenschaft: $M < 1$
Wir wählen eine obere Schranke: $M < S$

Unser Ziel ist es nun, die obere Schranke so zu wählen, daß $1 < S$ gilt. Dazu nehmen wir folgendes an:

S + 1 1 S < 1 ==> S <--2-- < 1 ==> S < 2 (- M

Das geht nicht, da $y < S$ $A$ $y (- M$ , was hier somit nicht erfüllt wäre. Es handelt sich also um einen Widerspruch und somit gilt $S > 1$ .

Satz:

Für das Supremum (kleinste obere Schranke) einer Menge gilt folgendes:

Aus $g = sup(M )$ folgt: $M < g$
Aus $~g < g$ folgt: Es gibt ein $x (- M$ mit $~g < x < g$

Für das Infimum (größte untere Schranke) wiederum folgt:

Aus $g = inf(M )$ folgt: $M > g$
Aus $~g > g$ folgt: Es gibt ein $x (- M$ mit $~g > x > g$

Bemerkung:

Besitzt $M$ ein Maximum, dann gilt: $sup(M ) = max(M )$ $M$ ist nicht nach oben beschränkt, d.h. zu jeder Zahl $k$ gibt es $x (- M$ mit $k < x$ . Wenn $M$ nicht nach unten beschränkt ist, gibt es zu jeder Zahl $k$ ein $x (- M$ mit $x < k$ . Ist $M$ nicht nach oben beschränkt, so schreiben wir $sup(M ) = oo$ . Ist $M$ nicht nach unten beschränkt, so schreiben wir $inf(M ) = - oo$ .

$M$ sei nicht nach unten beschränkt: $inf M = - sup(-M )$
$- M$ ist nicht nach oben beschränkt: $- sup(-M ) = - oo = inf(M )$

Es ist bekannt, daß $g(x) = ex > 0$ $A$ $x (- R$ , somit stellt 0 eine untere Schranke dar. 0 ist sogar die größte untere Schranke (Infimum). Des weiteren ist $g(x) = ex /= 0$ $A$ $x (- R$ . Folglich ist 0 kein Minimum anders als bei $f(x) = x2$ . Dort ist 0 nämlich gleichzeitig größte untere Schranke und Minimum, da $f(0) = 0$ .

Bemerkung zu $oo ,- oo$ :

$oo , - oo$ sind Zeichen (keine Zahlen!), mit denen formal wie folgt gerechnet wird: $(- oo < x < oo$ $A$ $x (- R)$

x > 0,y (- R : x-= oo = oo . oo = oo + y = oo .x = oo 0 x x < 0,y (- R : y-x oo = x. oo = 0 = - oo ----= 0, oo - (- oo ) = oo ,(- oo )(- oo ) = oo ± oo

Folgende Ausdrücke besitzen keinen definierten Wert. Der Wert hängt vom mathematischen Zusammenhang ab (unbestimmte Ausdrücke):

0, oo , oo -, oo - oo , 0. oo , oo 0 0 oo 0

-- R = R U { oo ,- oo }hei ßt abgeschlossene Zahlengerade

Jede nichtleere Menge reeller Zahlen, die nach oben beschränkt ist, besitzt ein Supremum.

M /= P,M < X ==> es existiert sup(M ) (- R

Für $Q$ ist dies falsch!

Satz (Skript Seite 216):

Die Menge $N$ ist nicht nach oben beschränkt.

Beweis:

$N /= P$ . Wir zeigen dies indirekt. Wir nehmen an, es gelte: $N (- X$ für ein $x (- R$ . Dann folgt daraus, daß $sup(N) = G (- N$ existiert. Dann gilt:

n < G A n (- N

Mit $n$ und mit $1 (- N$ gelte $n + 1 < G$ $A$ $n (- N$ . Dann folgt hieraus wiederum:

n-<-G---1 A x- (- -N| ----------------|

Dabei handelt es sich also um einen Widerspruch: $N$ ist unbeschränkt.

Satz:

Zu jeder reellen Zahl $x$ gibt es $n0 (- N$ mit $x < n$ $A$ $n > n0$ .

Satz (Skript Seite 17,18):

Zu jeder positiven Zahl $e$ gibt es eine natürliche Zahl $n0$ mit:

$1- n < e$ $A$ $n > n0$ $( ) 1 Setze vorher x = e$

$1 -e 1- e < n|.n n < e$

Folgerung:

Es gelte für $a (- R : a > 0,a < 1 A n (- N(n > n0) --> 0 = 0 n$

Satz:

Für $x$ , $y (- R$ gelten: $x < y$ und $y- x > 1$ . Dann gibt es $k (- Z$ mit $x < k < y$ .

Satz:

Für $x,y (- R$ gelte $x < y$ . Dann gibt es ein $r (- Q$ mit $x < r < y$ . Die Dichtheit der rationalen Zahlen in $R$ :

Für $n0 (- N$ : $1 n- < y- x .n0 0 >0$

1 < n0(y- x) = n0y - n0x

n x < k < n y |.1- x < k- < y 0 0 n0 x0

Folgerung:

Zu $x$ , $y (- R$ mit $x < y$ gibt es $q (- R\Q$ mit $y < q < y$ .

==> x < r < y r (- Q --> x < r < r < y mit r , r (- Q 1 1 1 2 1 2

q = r + V~ 1-(r -r ) 1 2 2 1 <1

V~ - 2 > 1 <==> 2 > 1

$r1 < q < r2$
$q (- R \Q$

V~ - r2--r1 2 = q- r1 (- Q

Wäre $q (- Q$ , so würde folgen: $V~ 2 (- Q$ . Dabei handelt es sich um einen Widerspruch.

Satz:

$Q$ genügt (V) nicht. Das heißt:

Aus $M < Q$ , $M /= P$ , $M$ nach oben beschränkt folgt im allgemeinen nicht $sup(M ) (- Q$ .

Betrachte: M = {x (- Q |(x > 0) /\ (x2 < 2)2} } M /= P : 1 (- M (V )sup M existiert (- R M < 2

Behauptung:

Es sei $V~ - S = sup(M ) = 2$ . Dann gilt $2 ?! S = 2$ , das heißt, $2 S > 2$ und $2 S < 2$ müssen ausgeschlossen werden. Aus $M < S$ folgt dann $1-<-S$ . Bilde anschließend mit $S$ :

' 2S + 2 S = -S +-2

Übung:

Für $' S$ gelten:

2 S'= S = 2--S-- S + 2

2 ---2--- 2 S - 2 = (S + 2)2(S - 2)

Wir nehmen folgendes an:

S2 > 2 ==> S > S'> 0 ==> S2 > S'2

S'2 > 2 > x2 A x (- M

' ==> S > x A x (- M

$S'$ ist obere Schranke von $M$ : $S'< S$ . Dies ist ein Widerspruch, da $S$ die kleinste obere Schranke ist.

(V) Jede nicht leere nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt ein Supremum.
(V) Jede nicht nach unten beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt ein Infimum.