6.5 Die Exponentialfunktion

Es sei $z (- C$ gegeben. Dann betrachten wir folgende Reihe:

sum oo oo sum zk f(z) = ak = k! k=0 k=0

Wir untersuchen die Reihe auf Konvergenz:

||ak+1|| k!| zk+1| 1 ||-a--||= (k-+-1)!|zk|-= k+-1|z|'--> 0 f¨ur k '--> oo k

Aus dem Quotientenkriterium folgt, daß $sum oo zk k! k=0$ für jedes $z (- C$ absolut konvergiert.

Satz:

Für jedes $z (- C$ ist die Reihe $sum oo k 2 z- = 1+ z + z-+ ... k=0k! 2!$ absolut konvergent. Die Zuordnung $sum oo -zk z '--> kl! k=0$ heißt Exponentialfunktion. Es wird geschrieben:

$sum oo k sum n k exp(z) = z- = lim z- k=0 k! n'-->o o k=0 k!$

$e = exp(1)$ , $1 = exp(0)$

Satz:

Für $|z|< Z$ gilt $-2| z|-- |exp(z)- 1|< 2- |z|$

Beweis:

| | ( ) |1 + z + z2 +...- 1|= ||z + z2 + z3+ ...|| < |z| 1 + |z|-+ |z|2... = 2! | 2! 3! | 2! 3! ( |z| |z| 2 |z|3 ) = |z| 1+ -2-+ 3.2-+ 4-.3.2 + ... < (( )0 ( )1 ( )2 ( )3 ) < |z| |z|- + |z|- + |z| + |z|- + ... = 2 2 2 2 1 2| z| = |z|---|z|= ------geometrische Reihe f¨ur |z|< 2 1 - 2- 2- |z|

(6.1)

( ) sum oo zk oo sum wl oo sum sum p zp-j wj z,w (- C : exp(z)exp(w) = k! -l! = (p--j)!j!- = k=0 l=0 p=0 j=0 ( ) oo ( p ) oo p ( ) = sum -1 sum p!-zp-j-wj- = sum -1 sum p zp-jwj p=0p! j=0 (p- j)! j! p=0p! j=0 j ----- ----- (z+w)2

(6.2)

oo sum p (z +-w)-= exp(z + w) p=0 p!

6.5.1 Funktionalgleichung der Exponentialfunktion

Satz 3:

$exp(z + w) = exp(z)exp(w);z,w (- C$

$1 = exp(0) = exp(z -z) = exp(z)exp(-z),z (- C$

Korollar:

exp $(z) /= 0 A z (- C$
exp $(-z) = --1--- exp(z)$

6.5.2 Die reelle Exponentialfunktion

Satz:

$exp(x) > 0$ $A$ $x (- R$
$exp$ ist streng monoton wachsend.
$exp(n) = en$ , $n (- Z$
$k (- N$ , $k nli'-->mo o n exp(- n) = 0$

Beweis:

$( )2 exp(x) = expx- > 0 (wahr) 2$
$x1 > x2$ , Ziel: $exp(x1) > exp(x2)$ $x2 x3 x > 0 : exp(x) = 1+ x+-2 + 3! + ...> 1$

$x1 > x2 ==> x1x2 > 0 --> exp(x1-x2) = exp(x1)exp(x2) = exp(x1-> 1 --> exp(x1) > exp(x2) exp(x2)$
$en = exp(n)$ , $n (- Z$ Wir beweisen dies mit vollständiger Induktion: $0 1 n (- N U {0}: n = 0 : e = exp(0),n = 1;e = exp(1)$

$n '--> n + 1 : exp(n+ 1) = exp(n)e = en .e = en+1$

$-n --1--- n n = -1,- 2,...:- n = 1,2,...;exp(- n) = e = exp(n)-- > exp(n) = e$
Konvergiert $oo sum nk -n- n=1 e an$ ? $an+1 (n + 1)k en 1 ( 1)k 1 -an- = --en+1- .nk-= e 1+ n- --> e < 1(n '--> oo )$

$oo k sum n-ist konvergent. n=1 en$

$k ==> nli'-->mo o n exp(- n) = 0$

$exp(n) ==> lnim'--> oo nk = oo bestimmt divergent!$

$y = exp(x)$

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