6.7 Funktionenfolgen/-reihen, gleichmige Konvergenz/Potenzreihe-Konvergenzradius

6.7 Funktionenfolgen/-reihen, gleichmäßige Konvergenz/Potenzreihe-Konvergenzradius

6.7.1 CAUCHY-Kriterium/Majorantenkriterium

$fn(x) = xn,0 < x < 1 n = 0,1,2,...$ ${ 0 f¨ur 0 < x < 1 } nli'-->m oo fn(x) = 1 f¨ur x = 1 f(x)$

$fn (- C0[0,1]$

$f / (- C0[0,1]$
$sum oo 1 k sum n zk k!z := nli'-->mo o k!,z (- C k=0 k=0 -- fn(z)$
$( 2|| 1|| ) fn(x) = max n - n ||x- n-||,0$ für $n = 2$ , 3, $...$ und $0 < x < 1$ $n2x f¨ur 0 < x < 1n { fn(x) = 2n - n2x f¨ur 1n < x < 2n 0 f¨ur 2n < x < 1$

Diese Funktion ist stetig für alle $n$ .
$f(x) = nli'-->m oo fn(x) = 0 A x (- [0,1]$

$-2 Sei x > 0 : Wa¨hle N (- N mitN < x$

$==> 2-< x A n > N --> fn(x) = 0 A n > N n$

Ausnutzung der geometrischen Reihe:

oo sum ---x2--- sum n f(x) = (1+ x2)k = ln'-->imo o x (- R = k=0 k=0 sum oo { 0 f¨ur x = 0 = x2 ----1--- = k=0(1+ x2)k ---1-1--= 1+ x2 f¨ur x /= 0 (geometrische Reihe) 1- 1+x2

(6.3)

5. $x fn(x) = 1-+-nx$ für $x > 0$ , $n = 1,2,...$

x 1[ 1 ] 1 fn(x) =------= --1 - ------ 0 < fn(x) <-- 1 +nx n 1+ nx n

nli'-->mo o fn(x) = 0 = f(x)

Definition:

Gegeben sei die Funktionenfolge $fn : D < C '--> C$ $n = 1,2,...$

Punktweise Konvergenz:

$fn '--> fn'--> oo$ punktweise. $Definition -------->$ $fn(x) '--> f(x)$ $(n '--> oo )$ für jedes $x (- D$ .

$fn '--> f$ punktweise: Zu jedem $e > 0$ gibt es ein $N = N (e,x)$ mit $|fn(x)- f(x)| < e$ $n > N$ .

Gleichmäßige Konvergenz:

$fn '--> f$ $(n '--> oo )$ gleichmäßig auf $D$ $Definition -------->$ $nl'-->imo o sup{|f(z)- f(z)| ,z (- D}= 0$

Zu jedem $e > 0$ gibt es ein $N = N(e) < N$ mit $(| fn(z)- f(z)| ) < sup{|fn(z) -f (z)|$ , $z (- D} < e$ , falls $n > N (e)$ $( A z (- D)$ .

Wurzelkriterium: $oo sum a k=0 k$ ist absolut konvergent/divergent, falls ${ V~ ---- lim sup n V~ |an|< 1 lim sup n |an|> 1$

an+1 n V~ --- (an),an > 0. Existiert:nl'-->imo o -an-, so existiert auch nli'-->mo o an und beide

Die Grenzwerte sind gleich.

Definition:

Die Grenzfunktion einer auf $D$ gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen ist stetig.

Satz:

Aus $|fj(z)|< aj$ $A$ $j$ , $A$ $z (- D$ und daraus, daß $sum oo aj j=0$ konvergent ist, folgt daß $oo sum fn(z) n=0$ auf $D$ absolut und gleichmäßig konvergiert.