5.2 Energie

N E = sum 1m V2 kin n=1 2 n n

( )2 ( ) ( )2 ( ) V 2 = V0 + _O_× r = V20 +2V0. _O_ × r + _O_× r = V20 +2 V0× _O_ .r+_O_2r2sin2 f

2 2 2 22 2 2 2 2 2 ( )2 _O_ r sin f = _O_ r - _O_ r cos f = _O_ r - _O_ .r

N ( ) ( ) [ ( ) ] E = sum 1m V2 = 1 s um m V 2+ 1.2.V × _O_ s um m .r + 1 sum m _O_2r2- _O_ .r 2 kin n=1 2 n n 2 n n 0 2 0 n n n 2 n n n n --- --- --- --- ----------- ----------- M (Gesamtmasse) M.rs Rotationsnergie

Wie wählen den Ursprung des körperfesten Koordinatensystems im Schwerpunkt, so daß die Kopplung zwischen Translation und Rotation verschwindet!

N Erot = 1 sum mn [(_O_2 + _O_2 +_O_2 )(x2 + y2+ z2)- (_O_xxn +_O_yyn + _O_zzn)2]= 2n=1 x y z n n n 1 sum = 2 Ikl_O_k_O_l k=k1l,2,3 <==>x,y,z

(5.1)

Da der Körper rotiert, ändern sich laufend die Vektoren

_k. Der Trägheitstensor I_kl ist deswegen ebenfalls zeitabhängig.

sum ( ) sum ( ) Ixx = mn x2n + y2n + z2n- x2n = mn y2n + z2n n n

sum Ixy = - mn (xn .yn) = Iyx n

y2 + z2 = r2 x

_x ist der Abstand von der x-Achse.

|---------------| | 1 T | Erot = 2_O_ .I ._O_| -----------------

ist der Spaltenvektor der Rotationsgeschwindigkeit. Bei I handelt es sich um eine 3 × 3-Matrix (I_xx, I_xy, ...), nämlich der sogenannten Trägheits(-matrix). hängt nicht____ von der Wahl des körperfesten Koordinatensystems ab.

Im Koordinatensystem K_R: $|-------------| -V-=-V0 +-_O_-×-r$
Im Koordinatensystem K_K':

Für alle Punkte P gilt = ' .

|---------------------------| | -- r'-- | V0 + _O_ ×r = V'0 + _O_' × (- a+ r) -----------------------------

( ) V0 + _O_ - _O_' × r = V '- _O_× a --- --- 0-- --- Funktion bKeoz¨ungstlianchtr von r

Daraus ergibt sich dann = ' und ₀ = ₀'- ×.

Ekin = sum 1mn(V0 + _O_× rn)2 = M-V2 + 1.2 .M (v0× _O_) .rs+ 1 sum Ikl_O_k_O_l 2 2 0 2 2 kl

Die Energie ergibt sich als Summe aus Translationsenergie des Schwerpunkts und Rotationsenergie um Schwerpunkt. Für den Drehimpuls gilt:

sum ( ) ( ) L = mn R0 + rn × V0 + _O_ × rn = n sum sum sum = R0 × (M V0)+ mnR0 × (_O_ × rn)+ mnrn × V0 + mnrn × (_O_ ×rn) n n n

(5.2)

sum L = R0-×-(M-V0) + R0-×-(_O_-×-M-rs)+-M-Rs-×-V0+ mnrn × (_O_ × rn) Bahn- Drehimpuls Verschwindet,wenn n des K¨orpers Schwerpunkt im Ursprung OK

| sum Lk = R0 × (M .V0)|| + Ikl_O_l k l

k,l = 1,2,3(x,y,z)

Im allgemeinen ist nicht parallel zu , selbst wenn ₀ = . I_kl besteht aus 9 Größen und ist außerdem symmetrisch (I_kl = I_lk). Es gibt somit nur 6 unabhängige Größen! Da I_kl symmetrisch ist, existiert außerdem ein Koordinatensystem, in dem I diagonal ist.