5.6 Mathematischer Einschub: Skalare, Vektoren, Tensoren

Wir arbeiten mit einer Koordinatentransformation, die den Ursprung O festhält (Drehungen, Spiegelungen):

( ) ( ') x x' r = y oder y' -z- -z - K K'

( ) ( ) ( ') x cosf - sin f 0 x' y = + sinf cosf 0 . y' z ---0------0-----1- z U,UUT=I

Skalar:

f(x,y,z) = f'(x',y',z')

Die Werte von , ' sind gleich, haben aber eventuell andere Form wie beispielsweise:

f(x,y) = x2 + 2y2

f'(x',y') = 3x'2 + 3y'2 +x'y' 2 2

Invarianz, aber keine Forminvarianz

Vektor:

V = (V ,V ,V ) (Werte- Tripel) 1 2 3

Die Komponenten von werden wie die Komponenten der Ortsvektoren transformiert. Die Länge von Vektoren , und der Winkel zwischen ihnen bleibt invariant.

( ) ( ) b1 b'1 a.b = (a1,a2,a3) b2 = a'.b'= (a'1,a'2,a'3) b'2 = aT .b b3 b'3

Dies wird folgendermaßen bewiesen:

a = U .a'

' b = U .b

aT .b = (Ua')T(Ub') = aT UT Ub' I

Tensor:

Es sei T_kl eine N × N-Matrix. Dann ist diese invariant:

aT Tb = Zahl = a'TT 'b'mit T'= UT T U

Transformationsverhalten der Matrixelemente eines Tensors 2.Stufe

Tensor 0.Stufe: Skalar
Tensor 1.Stufe: Vektor
Tensor 2.Stufe: T_kl
Tensor 3.Stufe: T_klm
Diese sind aber leider etwas komplizierter in der Notation.

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