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4.4 Die Unschärferelation

Gegeben seien drei hermitesche Operatoren  = †, B^ = ^B† und C^ = C^† mit [Â,B^] = iC^. Dies gilt beispielsweise für ^p und ^x ([^p ,^x] = ih). Wir behaupten nun:

DA.DB > 1| <Y |C^|Y >| mit (DA)2 = <Y|^A2|Y>-<Y|^A|Y>2 und (DB)2 = <Y |B^2 |Y >- <Y|^B|Y>2 2

Wir wollen dies beweisen. Dazu nehmen wir o.B.d.A. den Erwartungswert von  als Null an:

<Y|^A|Y> = 0, <Y |B^|Y > = 0

Ist dies nicht der Fall, so führt man folgende Transformation durch:

^ ^' ^ ^ A '--> A = A - <Y|A|Y>

Dies macht man analog für ^ B. Dies läßt die Vertauschungsrelation unverändert:

^ ^ ^^ ^ <Y|AB - B A|Y> = i<Y|C|Y>

Dazu zeigen wir:

(Y,B^^AY) = (^BY, ^AY) = ( ^AB^Y, Y) = (Y, ^AB^Y)*

Damit folgt:

<Y |A^^B|Y>- <Y |B^^A|Y> = <Y |A^^B|Y>- <Y|^BA^|Y >*= 2.Im <Y |A^^B> != <Y |C^|Y >

Wir quadrieren den letzten Ausdruck:

(Im<Y|A^B^|Y>)2 =-1 <Y |C^|Y >2 22

( ) ( ) Re<Y|^AB^|Y > 2 + Im<Y |A^^B|Y> 2 > 1-<Y |C^|Y >2 22

Es gilt die Schwarzsche Ungleichung:

|<a| b >| 2 < <a|a>2<b |b>2

Damit erhalten wir:

|<Y|^AB^|Y >|2 > 1|<Y |^C|Y>| 2 mit|a> = A^†| Y > - - - - 4 <a| |b>

Wir vergrößern die linke Seite mittels der Schwarzschen Ungleichung:

<a |a>2 .<b|b>2 > 1 |<Y|^C|Y>|2 4

1 <Y|^A|Y>2 .<Y |B^2|Y> > 4|<Y |C^|Y >| 2

2 2 1 ^ 2 (DA) .(DB) > 4| <Y|C|Y >|

|--------------------| | 1 | |DA .DB > 2|<Y |C^|Y >|arccos ---------------------

Als Anwendung verwenden wir die Drehimpulsoperatoren:

[L^x,L^y] = ih^Lz

DLx .DLy > h| <Y |^Lz|Y>|2 2

Für Ylm mit m = 0 ergibt sich dann DLx . DLy > 0. Beispielsweise gilt für Y 00, daß DLx = DLy = 0 ist.

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