4.8 Spin 1/2

Im Jargon bedeutet dies, daß die Eigenwerte von ² j = und m = ± sind. In Zukunft schreiben wir:

j = kommt nur als Eigendrehung vor (Spin ). Die Eigenwerte lauten von ² :

Zu _z lauten diese ±. Wir definieren folgendes:

Der entsprechende Eigenwert von ² lautet 3 und die zu _z sind ±1. Das System besitzt nur zwei unabhängige Basen. Wir stellen _x, _y und _z durch 2X2-Matrizen dar.

Die Matrix von _z ist nun so einzurichten, daß die Vertauschungsregeln für _z, _y und _z erfüllt werden und des weiteren die Eigenwerte von _z = ±1 sind.

Wir wählen als Basis die Eigenzustände von _z. Da die Matrizen hermitesch sein sollen, müssen a₁₁, a₂₂ reell sein und außerdem a₂₁ = a₁₂^* gelten. Dies gilt analog für b_jk.

Diese Matrizen nennt man Pauli-Matrizen. Wir erkennen folgende Eigenschaften dieser Matrizen: Für die Eigenvektoren von _z gilt:

• _x² = _y² = _z² = I, d.h. die Eigenwerte von _x, _y und _z sind gleich ±1.
• Antikommutator:

  Die Matrizen sind also antikommutativ.

• _x|_z - 1>:

  Es findet ein sogenannter „Spinflip“ statt:

  
  

• _j ist für j = x, y, z hermitesch und außerdem unitär mit -1 = _x.
• Spin in Richtung von = (n_x,n_y,n_z) mit ² = 1:
  

  Die Eigenwerte von _n bezüglich jeder Richtung sind ±1.

  

  Die Wurzel aus einen Operator („Betrag“) ergibt kontinuierlich viele Lösungen.