3 WKB

Kapitel 3
WKB

Die Idee dieser Methode ist nun folgende:

Entwicklung nach Potenzen von
Vernachlässigung von O(²)

Unser Ziel ist es nun, die stationären Lösungen der zeitunabhängigen eindimensionalen Schrödingergleichung zu erhalten. Eine stationäre Lösung läßt sich schreiben als:

( ) E- Y(x,t) = Y(x)exp -ih t

Durch Einsetzen in die Schrödingergleichung resultiert:

y''+ 2m--(E - V (x))y = 0 (1) h2

Zur Lösung dieser Gleichung machen wir nun folgenden Ansatz:

( i- ) h- y = exp hW (x) mit W (x) = S(x)+ i ln A(x) (2)

S und A seien gerade Funktionen von . Man erhält dann:

S'2- 2m(E - V ) = h2A'' (3) A

' ' '' 2A S + AS = 0 (4)

Gleichung (4) wird gelöst durch:

A = const.(S')-12 (5)

Aus (4) und (5) erhalten wir dann schließlich:

|-------------------------------------------| | [ ( '')2 '''] | |S'2 = 2m(E - V )+ h2 3 S-' - 1S-' (6)| ---------------------4--S-------2S-----------

Interessant ist nun, daß wir bisher eine exakte Rechnung durchgeführt haben. An dieser Stelle werden wir jetzt die WKB-Näherung verwenden:

|---------------------| |S = S0 + h2S1 + O(h4) | (7) | zu vernachl¨assigen| ----------------------

Auch Gleichung (6) resultiert dann mit dieser Näherung:

S'2 ~~ 2m(E - V ) 0

Wir unterscheiden zwei Fälle:

E > V (x)
Wir definieren eine „Wellenlänge“ ( := ):
$c(x) =_ V~ ----h------- 2m(E - V (x))$
Es gilt näherungsweise:
$( ) '- 12 S0- y ~~ k(S0) exp ih$
Für die allgemeine Lösung folgt dann:
$|------------- |_ -x---- _| | | V~ -- integral -dy- | |y(x) ~~ a ccos |_ c(y) _| | (8) ---------------x0-------|$
und x₀ seien Konstanten.
E < V (x)
Es wird eine sogenannte Eindringtiefe („Skin-depth“ l := ) definiert:
$------h------- l(x) =_ V~ 2m(V-(x)--E)$
Die allgemeine Lösung lautet hier nun:
$|---------------------------------------------| | - |_ ( integral x ) ( integral x )_ | | |y(x) ~~ V~ l |_ b exp + -dy- + gexp - -dy- _| | (9) | x l(y) x l(y) | -------------------0-----------------0--------$

Ein Kriterium für die Exaktheit der Näherung ist:

( ) (6)+(7) ||dc || ||dl|| y = yWKB+exp ihS1 + O(h2) |hS1|« 1 (10) ---- ---> ||dx-||« 1 oder ||dx-||« 1 (11)

Oder auch:

|mhV '| ----------3-« 1 (12) |2m(E -V )|2

Die Näherung ist sicherlich nicht erfüllt für die Umkehrpunkte x_n ^.V (x_n) = E. Das Fazit besteht nun darin, die Anschlußbedingungen einzuführen:

Y = Ay1 + By2


x « a		x » a

y₁ exp (13)		y₁ -sin (15)
y₂ exp (14)		y₂ cos (16)

Die Voraussetzungen dafür, daß dies stimmt, sind:

Fall 1:
Fall 2:

Nicht erlaubt ist beispielsweise so etwas:

ABER VORSICHT! Wenn im Bereich x « a gilt, daß _exakt Ay₁ mit A0, kann man auch daß _exakt Ay₁ + By₂ mit beliebigem B schreiben. Also ist im Bereich x » a die Lösung unbestimmt:

Y ~~ Ay1 oder Ay1 + By2

Nur wenn im Bereich x « a sicher ist, daß _exakt = By₂ (A = 0), findet man im Bereich x » a sicher:

Y ~~ By2

Für x « a gelte _exakt = By₂ und für x » a By₂.

3.1 Potentialtopf

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