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5.6 Drehoperator

Wir haben ein einzelnes Teilchen im Zustand a mit der Wellenfunktion Y(x) und nach der Drehung einen Zustand a' mit der neuen Wellenfunktion Y'(x).

Allgemein ist jeder Drehung R eines physikalischen Systems ein unitärer Operator R zugeordnet. Es muß also gelten R†R = RR† = 1. Die Zustände ändern sich also wie folgt:

' |a > = R|a>

Für die Observable folgt Q' = RQR†. Bei skalaren Observablen S gilt für alle Drehungen R, daß S' = RSR† = S gilt. Dann findet man die Bedingung, daß R und S kommutieren: [R,S] = 0. Ein Vektoroperator K besteht aus drei Komponenten, welche selbst Operatoren sind. Für die einzelnen Komponenten gilt:

K' =_ RK R † = R~ K i i ij j

„~“ bedeutet „transponiert“.

Wir machen eine infinitesimale Drehung um die Achse z-Achse. Wir lassen den unitären Operator Rz (z ist keine Komponente, sondern nur eine Bezeichnung!) auf die Wellenfunktion wirken:

R (e)[Y(x,,z)] = Y(x+ ye,- xe+ y,z) z

Dann machen wir eine Taylor-Entwicklung:

Y(x+ ye,-xe + y,z) = Y(x,y,z)+ ey-@Y - ex-@-Y = (1- iel )Y(x,y,z) @x @y z

Also haben wir die Darstellung des Operators Rz erhalten:

|-----------| |Rz = 1 - ielz -------------

Ist J der Gesamtdrehimpuls eines Systems, so gilt für eine bestimmte Drehung um die Achse û mit dem infinitesimal kleinen e:

|----------------| R (e) = 1- ieJ .^u | --^u---------------

Für einen skalaren Operator S gilt folgende Kommutatorrelation für alle û:

[^uJ,S] = 0

J ist hierbei der Gesamtdrehimpuls. Für einen Vektoroperator K mit den Komponenten Ka =_ K .â gilt für alle û und â:

[^u.j,^a.K] = i(^u× ^a).K

Wir wollen diese Beziehung kurz ableiten:

K'a = Ru(e)KaRu(e)† = Ka -ie[Ju .Ka]

K'a =_ K .^a'= K .(a^+ e^u× ^a)

Durch Vergleich dieser beiden Beziehungen erhalten wir:

[Ju,Ka] = iK .(^u × ^a)

Alle Drehungen können als Verkettungen von infinitesimal kleinen Drehungen angesehen werden:

R^u(f + df) = R^u(df)R^u(f)

Jetzt nutzen wir unseren Operator im Hilbert-Raum:

R (f+ df) = R (df)R (f) = (1 - iJ df) R (f) ^u ^u ^u u u

Daraus folgt dann durch Differentiation nach f:

|---------------------------------| | d | |df-R^u(f) = - iJuR^u(f) mit R^u(0) = 1 ----------------------------------

Hierbei handelt es sich um eine Differentialgleichung für Rû(f). Die Lösung dieser Gleichung erhält man mit einem Exponentialansatz, womit gilt:

|-----------------| R^u(f) = exp[-ifJu] -------------------

Diesen Ausdruck kann man dann als Taylor-Reihe verstehen.

Bemerkung:
Wir könnten beispielsweise eine Drehung um 2p durchführen:
R^u(2p) = exp(-2piJu)

Betrachten wir die Darstellung mit diagonalem Ju, womit wir folgende Eigenwertgleichung erhalten:

|----------------------------| R^u(2p)|j,+j-> =-exp(2pij)| j,+j>|

Die Eigenwerte sind ±1, je nachdem, ob j ganz oder halbzahlig ist. Dies ergibt sich aus den Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion.

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