5.7 Drehinvarianz

Die Invarianz einer Größe bei Drehungen kann durch bestimmte Eigenschaften des Drehimpulses zum Ausdruck gebracht werden. Da jede Drehung durch Hintereinanderausführung infinitesimaler Drehungen beschrieben werden kann, betrachten wir auch nur infinitesimale Drehungen. |> ist drehinvariant, wenn für alle û gilt, daß û |> = 0 ist. Die Observable S ist auch drehinvariant, wenn für alle û die Kommutatorrelation [û ,S] = 0 gilt. Betrachten wir beispielsweise die Drehinvarianz des Hamilton-Operators. Für alle Drehungen R muß der unitäre Operator R mit H vertauschen:

|---------| -[R,-H] =-0|

Daraus resultiert dann, daß die Bewegungsgleichungen drehinvariant sind. Das heißt: Wenn |(t)> eine Lösung der Schrödingergleichung ist, dann ist auch R|(t)> eine Lösung. Notieren wir uns hierzu die Schrödingergleichung:

( @ ) ( @ ) ih --- H R |Y(t)> = R ih-- - H |Y(t)> = R.0 = 0 @t @t

Der Operator R kann nach vorne gezogen werden, da R mit H kommutiert und außerdem zeitunabhängig ist. Da |> eine Lösung ist, gilt dann dies.

Betrachten wir beispielsweise die Drehinvarianz des Hamilton-Operators:

[R, H] = 0

Des weiteren vertauschen die Operatoren J², J_x und H paarweise. Das bedeutet, daß diese Operatoren gemeinsame Eigenfunktionen |n,j,m> besitzen. Damit kann man ableiten, daß die Eigenwerte E_j (2j + 1)-fach entartet sind; man spricht auch von Drehentartung. Nehmen wir an, es sei m = -j. Dann gilt:

HJ+ |j,- j> = const..H |j,-j + 1>

Da H und J₊ vertauschen, gilt außerdem:

HJ+ |j,-j> = J+H |j,j>

Damit können wir die Energieeigenwerte aufschreiben:

Ej,- jJ+ |j,-j> = const..Ej,- j+1|j,- j + 1> = Ej,-j+1J+|j,- j>

Daher gilt also E_j,-j = E_-j,j+1 usw. Für alle m ist E_j,m = E_j,-j E_J.

5.7.1 Addition von Drehimpulsen

Wir schreiben den Gesamtdrehimpuls

als Summe der Einzeldrehimpulse

_n, welche bekannt sein sollen:

sum J = jn n

Betrachten wir das einfachste Beispiel:

J = j1 + j2

Damit erhalten wir mittels des Tensorprodukts:

|t,j1,j2,m1, m2> = |t,j1,m1 > ox |t,j2,m2> (- E(t,j1,j2)

Gesucht ist dann |,j₁,j₂,J,M>, wobei J der Eigenwert von ² und M der Eigenwert von J_z ist. Das Additionstheorem besagt nun:

Die Eigenwerte J sind j₁ + j₂, j₁ + j₂ - 1, j₁ + j₂ - 2, ..., |j₁ - j₂|.
Alle Eigenwerte sind somit positiv und liegen zwischen j₁ + j₂ und dem Absolutwert der Differenz, also |j₁ - j₂|.
Zu jedem dieser Werte gehört eine Folge von (2J + 1) Eigenwerten |,j₁,j₂,J,M>.

Den Beweis schlage man in geeigneter Literatur nach. Machen wir dazu eine Kontrolle: Nehmen wir an, daß j₁ > j₂. Dann schreiben wir J auf:

|---| |-------| |----| J = j1 +j2 , j1|+j2- 1 , ..., j1|-j2 = j1 + n mit n = - j2,..., +j2 ----- -------- -----

+j2 +j2 +j2 +j2 N = sum [2(j + n)+ 1] = sum [(2j +1) +2n] = sum (2j + 1)+ sum 2n = n=-j 1 n=- j 1 n=-j 1 n=-j +j 2 2+j 2 2 sum 2 sum 2 = n=-j (2j1 + 1) = (2j1 + 1).n=-j 1 = (2j1 + 1)(2j2 + 1) 2 2

(5.1)

Damit ist der Satz für diesen Fall gezeigt. Betrachten wir nun folgende Basen:

{|t,j1,j2,J,M >}, {t,j1,j2,m1,m2 >}

Damit kann man einen bestimmten Vektor |,j₁,j₂,J,M> schreiben als:

|t,j m ,J,M > = sum |t,j,j ,m ,m ><j ,j,m ,m2 |J,M > 1 2 m1,m2 1 2 1 2 1 2 1

Man nennt nun j₁, j₂, m₁ und m₂ die CLEBSCH-GORDAN-Koeffizienten. Diese sind -unabhängig und können reell gewählt werden.

5.7.2 Irreduzible Operatoren

Sei S ein skalarer Operator, dann gilt [

,S] = 0. Dann gilt:

|-------------------------------| |t,J,M |S|t',J',M '> = dJJ'dMM'S(Jt)t' --------------------------------

S_'^(J) nennt wir das reduzierte Matrixelement. Diese Beziehung kann mit den Auf- und Absteigeoperatoren J₊ und J_i gezeigt werden. Man kann nun einen reduziblen Tensor-Operator k-ter Stufe T^(k) mit 2k + 1 Komponenten T_q^(k). Machen wir dazu zwei Beispiele:

Tensoroperator 0-ter Stufe: T⁽⁰⁾ = S
Hierbei handelt es sich gerade um einen skalaren Operator.
Tensoroperator erster Stufe: T⁽¹⁾ =
Dies ist ein Vektoroperator.

Das Analogon hierzu ist das Wigner-Ekart-Theorem. Das reduzierte Matrixelement ist unabhängig von m und m'.

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