5.8 Der Spin

Das Schrödinger-Theorem der Atomphysik braucht zwei Modifikationen:

• Den Spin des Elektrons
• Die Symmetrieeigenschaften der Wellenfunktion

Betrachten wir ein Atom mit Z „Elektronen“ (ohne Spin) im Schwerpunktsystem:

Das Atom soll sich nun in einem konstanten Magnetfeld befinden. Das Vektorpotential läßt sich dann schreiben als:

Wir schreiben den Hamilton-Operator nun als:

Um zu zeigen, daß dies gilt, machen wir folgende Transformation:

Nach einer längeren Rechnung folgt:

Wir führen das Bohrsche Magneton _B ein:

Es sei nun || und des weiteren haben wir ein vollständiges Eigensystem von H₀, L² und L_z bestehend aus den Eigenvektoren |n,L,M>. L ist hierbei ganzzahlig und M laufe von -L bis +L. Es liegen außerdem die Energie-Eigenwerte E^n,L,M vor, für die gilt:

Wir erwarten damit ein Multiplett von 2L + 1 äquidistanten Niveaus. 2L + 1 ist nun eine ungerade Zahl. Man findet aber experimentell leider etwas anderes:

• Bei Atomen mit ungeradem Z sind die Multipletts geradzahlig. Hierbei handelt es sich um den „anomalen“ Zeeman-Effekt.
• Der Abstand benachbarter Niveaus eines Multipletts beträgt g_BB, wobei G der Landé-Faktor, wobei dieser bei verschiedenen Multipletts variieren kann.

Die Lösung des Problems ist nun folgende: Das Elektron besitzt einen Eigendrehimpuls von der Größe (Spin s = ), den das magnetische Moment _S = g_Ss zugeordnet ist. Aus die relativistischen Dirac-Theorie erhält man exakt g_S = 2. In der relativistischen Quantenfeldtheorie (QED) findet man jedoch:

Es handelt sich hier um die sogenannte Lamb-Verschiebung (Lamb-Shift).