Y .
Außerdem sei ein Funktional F : 
gegeben. Gibt es ein y 
mit F(y) < F(y)
y D, so heißt y globaler Minimumpunkt für F auf . Gilt F(y) < F(y)
y
y mit y , so heißt F(y) striktes (eigentliches) Minimum; y minimiert F
eindeutig.
M sei Menge reeller Zahlen mit -M = {x|- x M}. Hier gilt dann
min(M) = -max(M).
Es liegt der Vektorraum Y = C1[a,b] und = {y C[a,b],y(a) = 0,y(b) = 1}
vor.
Das Integral ist auf jedem Fall größer als Null, womit es sinnvoll ist, ein Minimum
auf zu suchen. Mit y und v Y gilt y + v , falls v(a) = b(b) = 0
ist.
Betrachte für beliebiges v 0 mit y den Ausdruck F(y + v) - F(y). Das Ziel
ist, y D so zu finden, daß dieser Ausdruck > 0 wird für alle v 0. y sei fest:
y D 
y = y + v, v 0. Außerdem gilt 
. Es sei als Übung aufgefaßt,
sich darüber Gedanken zu machen. Ein Ausdruck dieser Form kam in HM
schon zweimal vor, nämlich bei linearen Gleichungssystemen und linearen
Differentialgleichungen. Wir schätzen nun ab:
![b b
-- -- integral [ ' 2 ' ' ] integral ' '
F (y+ v)- F (y) = v(x) + 2y(x)v(x) dx > 2y (x)v (x)dx(> 0)
a a](ma121x.gif)
Das Gleichheitszeichen gilt für v'(x) = 0 x. Damit folgt dann, daß v(x) = const.
und mit v(a) = v(b) = 0, daß v = 0 ist. Gibt es nun y mit 
aby'(x)v'(x)dx = 0
v 0. Eine Möglichkeit wäre, daß y' = 
ist. Dann ist das Integral aufgrund der
Randbedingungen für v'(x) gleich Null. Daraus folgt dann:
y(x) ist die Minimalfunktion und F(y) das Minimum.