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Kapitel 2
Eindimensionale Wellengleichung

Wir betrachten wieder die eindimensionale Wellengleichung:
Lu = utt- c2uxx = f(x,t) f¨ur x (- R und t > 0

c sei konstant und außerdem größer als Null. Man verwendet folgende Begriffe:

Wir erinnern uns: Für Lu = 0 sei die allgemeine Lösung gegeben durch:

u(x,t) = F(x+ ct)+ G(x - ct) mit beliebigem F, G

u(x,0) = f(x), ut(x,0) = Y(x) mit x (- R

Dann gilt für die allgemeine Lösung:

|-------------------------------------------------------------------| | 1 1 x integral +ct 1 integral tx+ integral cs | u(x,t) = 2 [f(x + ct)+ f(x - ct)]+ 2c Y(s)ds + 2c f(y,t- s) dyds| ---------------------------------x-ct-----------s=0-x-cs---------------

Man kann dies auch schreiben als:

|---------------------------------------------------------------------| | x integral +ct integral t x+c integral (t- s) | | 1 -1 1- | u(x,t) = 2 [f(x + ct)+ f(x - ct)]+ 2c Y(s)ds + 2c f(y,s)dyds | ---------------------------------x-ct-----------s=0-y=x--c(t-s)------------

Im folgenden sollen nun folgende drei Begriffe geklärt werden:

Lu = 0, x (- R und t > 0

u(x,0) = f(x), ut(x,0) = Y(x)

Wir gehen nun in die x-t-Ebene und nehmen uns einen beliebigen Punkt (x0,t0):


 2.1 Die Parallelogrammidentität
 2.2 Eindeutigkeit der CAUCHYschen Anfangswertaufgabe: Energieintegralmethode
 2.3 Stetige Abhängigkeit von den Daten
  2.3.1 Einige Beispiele/DARBOUX-Problem, GAUSAT-Problem,
Charakteristisches Problem
 2.4 Die Wellengleichung im halbunendlichen Intervall
 2.5 Verschiedene Anfangswert-Randwertprobleme
  2.5.1 Fortsetzungsmethode
 2.6 Die Wellengleichung auf einem endlichen Intervall
  2.6.1 Transmissionsprobleme
Definition:

PIC

Es sei x0 (- R und t0 > 0 gegeben. Das Abhängigkeitsgebiet A(x0,t0) des Punktes (x0,t0) ist das Intervall der Anfangskurve (t = 0, x-Achse), in dessen Punkten die Anfangsdaten f und Y benötigt werden, um (x0,t0) auszurechnen.

|----------------------------| -A(x0,t0) =-{(x,0)||x--x0|<-ct0}-

Die Gerade xct + g mit g (- R = const. heißen +-Charakteristiken für L; die Gerade x = -ct + d mit d (- R = const. heißen --Charakteristiken für L.
Das Bestimmtheitsgebiet (Fortsetzungsgebiet) des Intervalls I der Anfangskurve (t = 0) sind alle Punkt (x,t) der Halbebene t > 0 mit A(x,t) < I. Das sind alle Punkte (x,t) mit t > 0, für die aus den Anfangsdaten f(x), Y(x) längs I u(x,t) berechnet werden kann.

PIC

Daher muß gelten:

x0- ct < x - ct < x+ ct < x0 + ct

Welche Punkte erfüllen alle diese Ungleichungen? Dazu verarbeiten wir die erste und die letzte Ungleichung, womit dann folgt:

-c(t0- t) < x- x0 < c(t- t0)

Da c > 0 folgt t < t0 und |x - x0|< c(t0 - t). Damit können wir nun da Bestimmtheitsgebiet mathematisch beschreiben:

|----------------------------------------------------| -B(I) =-{(x,t)|| x---x0|<-c(t0--t)}mit-I =-[x0--ct0,x0-+-ct0]

PIC

Das Einflußgebiet E(I) des Intervalls I der Anfangskurve (t = 0) sind die Punkte (x,t) der Halbebene t > 0, für die gilt, daß das Abhängigkeitsgebiet A(x,t) /~\ I/=Ø. Das ist der Bereich der Halbebene t > 0, außerhalb dessen sich die Werte von u nicht ändern, wenn die Anfangsdaten f, Y nur in I geändert werden.

|-------------------------------------------------------------------| I-=-[x0---ct0,x0 +-ct0] : E(I)-=-{(x,t)| t >-0,--ct-+x0---ct0-<-x <-ct+-x0-+ct0}

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